一个程序员的数学素养（2）高等数学

一、实数

定义

  • N-自然数，“数羊”产生
  • Z-整数，自然数减法不封闭，“借羊”产生
  • Q-有理数：q/p,其中q和p属于Z。整数的除法不封闭，毕达哥拉斯提出。
  • R-实数
  • 无理数=实数-有理数
  • 虚数单位i^2=-1，i^3=-i,i^4=1。实数和虚数
  • 复数，实数和虚数合在一起，构成了复数。如a+bi

戴德金分划，全集为Q，分为AB两个集合。A并B为全集，A交B为空集，且A中的任意元素小于B中的任意元素。戴德金分划存在三种情况，

  • A中存在最大值，且B中不存在最小值。
  • A中不存在最大值，且B中存在最小值。
  • A中不存在最大值，且B中不存在最小值。

前两种为有理分划，切到的点是有理数。
第三种为无理分划，切到的点是无理数。

实数的定义：每一个分划，对应一个实数。

  • 稠密性
  • 有序性

引理1：单调有界序列存在极限。

R的元素个数，如等势，则个数相等。

  • 自然数、整数、有理数的势是相同的
  • 实数R的势，和0-1之间的实数的势相同。0-1之间的实数，大于自然数的势。因此，实数R的势大于自然数的势。
  • 单元连续函数的势，大于实数R的势。

无穷大之比较

无穷大从小到大，其中a1,a2,a3大于1

序号 数列
1 lnn\ln{n}
2 n1/a1n^{1/a_1}
3 n
4 na2n^{a_2}
5 a3na_3^n
6 n!
7 nnn^n

级数的收敛

可以根据无穷大的比较，比较无穷小，从大到小。

序号 数列
1 1lnn\dfrac{1}{\ln{n}}
2 1n1/a1\dfrac{1}{n^{1/a_1}}
3 1n\dfrac{1}{n}
4 收敛分界线
5 1na2\dfrac{1}{n^{a_2}}
6 1a3n\dfrac{1}{a_3^n}
7 1n!\dfrac{1}{n!}
8 1nn\dfrac{1}{n^n}

收敛分界线：

  • 1/n级数是发散的，分划成n个大于1/2的值。
  • 1/(n**a)级数，a>1，是收敛的。
  • a=1时，1/(n**a)

二、极限

分为数列极限、函数极限

想要目标ε任意近，只要范围δ足够近。ε是目标，δ是足够近的范围。（当自变量趋向于无穷时，δ会换成N）

ε-δ语言定义，对于任意小的给定的正数ε，都存在δ>0，使得当∣x−x0∣<δ\left| x-x_0 \right|<\delta时，有不等式∣f(x)−a∣<ε\left| f(x)-a \right|<\varepsilon成立。

极限的四则运算，条件是：A、B 的极限，各自存在，也就是极限不是无穷大，即

limx→∞f(x)=A{\lim\limits_{x\to\infty}} f(x)=A，limx→∞g(x)=B{\lim\limits_{x\to\infty}} g(x)=B。
  • limx→∞[f(x)±g(x)]=limx→∞f(x)±limx→∞g(x)=A±B{\lim\limits_{x\to\infty}} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = {\lim\limits_{x\to\infty}f(x) \pm \lim\limits_{x\to\infty}g(x)} = A \pm B
  • limx→∞[f(x)⋅g(x)]=limx→∞f(x)⋅limx→∞g(x)=A⋅B{\lim\limits_{x\to\infty}} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = {\lim\limits_{x\to\infty}f(x) \cdot \lim\limits_{x\to\infty}g(x)} = A \cdot B
  • limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f(x)limx→∞g(x)=AB{\lim\limits_{x\to\infty}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x\to\infty}f(x)}{\lim\limits_{x\to\infty}g(x)} = \dfrac{A}{B}

极限的复合

有limx→x0f(x)=L1 {\lim\limits_{x\to x_0}}f(x)=L1 ，limx→L1g(x)=L2{\lim\limits_{x\to L1}}g(x)=L2，则limx→x0g(f(x))=L2{\lim\limits_{x\to x_0}}g(f(x))=L2

连续性

f(x)在x0处连续，即limx→x0f(x)=f(x0) {\lim\limits_{x\to x_0}}f(x)=f(x_0)。左极限和右极限都有极限，且相等。

两个重要极限

limn→∞(1+1n)n=e {\lim\limits_{n\to\infty}} \left( 1+ \dfrac{1}{n} \right)^n=e，limn→0sinxx=1{\lim\limits_{n\to 0}} \dfrac{\sin{x}}{x}=1

夹逼定理

f(x)与g(x)在x0连续且存在相同的极限A，limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=A {\lim\limits_{x\to x_0}} f(x)= {\lim\limits_{x\to x_0}} g(x) =A，若有函数f(x)在x0的某邻域内恒有f(x)≤k(x)≤g(x)，则有limx→x0k(x)=A {\lim\limits_{x\to x_0}} k(x) =A

牛顿二项式定理

(x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk \left(x+y \right)^n =\sum_{k=0}^n{\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k}，其中(nk)=n!k!(n−k)! \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

三、导数

定义

f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)Δx=limx→x0f(x)−f(x0))x−x0 f' \left( x_0 \right) = {\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = {\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}= {\lim\limits_{x\to x_0}} \dfrac{f(x)-f(x_0))}{x-x_0}

如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y’、f’(x)、dy/dx或df(x)/dx，简称导数。

基本初等函数的导数

序号 函数名 原函数 导函数
1 常函数 y=Cy=C y′=0y'=0
2 指数函数 y=ax,y=exy=a^x , y=e^x y′=axlna,y′=exy'=a^x \ln{a} , y'=e^x
3 幂函数 y=xny=x^n y′=nxn−1y'=nx^{n-1}
4 对数函数 y=logax,y=lnxy=\log_a{x} , y=\ln{x} y′=1xlna,y′=1xy'=\dfrac{1}{x\ln{a}}, y'=\dfrac{1}{x}
5 正弦函数 y=sinxy=\sin{x} y′=cosxy'=\cos{x}
6 余弦函数 y=cosxy=\cos{x} y′=−sinxy'=-\sin{x}
7 正切函数 y=tanxy=\tan{x} y′=sec2xy'=\sec^2{x}
8 余切函数 y=cotxy=\cot{x} y′=−csc2xy'=-\csc^2{x}
9 正割函数 y=secxy=\sec{x} y′=secxtanxy'=\sec{x}\tan{x}
10 余割函数 y=cscxy=\csc{x} y′=−cscxcotxy'=-\csc{x}\cot{x}
11 反正弦函数 y=arcsinxy=\arcsin{x} y′=11−x2y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
12 反余弦函数 y=arccosxy=\arccos{x} y′=−11−x2y'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
13 反正切函数 y=arctanxy=\arctan{x} y′=11+x2y'=\dfrac{1}{1+x^2}
14 反余切函数 y=arctgxy=arctg{x} y′=−11+x2y'=-\dfrac{1}{1+x^2}
15 双曲线函数 y=shxy=sh{x} y′=chxy'=ch{x}

反函数的导数

y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y’=1/x’。

f′=limΔyΔx,g′=limΔxΔy,f′(x)g′(y)=1 f'={\lim_{}}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} ,g'={\lim_{} } \dfrac{\Delta x}{\Delta y},f'(x)g'(y)=1

导数的四则运算

1、加减

(u±v)′=u′±v′ (u \pm v)'=u' \pm v'

2、乘法

(uv)′=u′v+uv′ (uv)'=u'v + uv'

3、除法

(uv)′=u′v−uv′v2\left( \dfrac{u}{v} \right)'= \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

复合函数的导数

g′(f(x))=limΔx→0g(f(x+Δx))−g(f(x))Δx g'(f(x)) ={\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{g(f(x+\Delta x))-g(f(x))}{\Delta x} =limΔx→0g(f(x+Δx))−g(f(x))f(x+Δx)−f(x)⋅f(x+Δx)−f(x)Δx=g′(f)f′(x) = {\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{g(f(x+\Delta x))-g(f(x))}{f(x+\Delta x)-f(x)} \cdot \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =g'(f)f'(x)

应用示例：

(xx)′=(elnxx)′=(exlnx)′=exlnx(lnx+x⋅1x) (x^x)'=(e^{\ln{x^x}})'=(e^{x\ln{x}})'=e^{x\ln x}(\ln x+x \cdot \dfrac{1}{x})

四、中值定理、洛必达法则和泰勒展开

罗尔中值定理

如果函数f(x)满足以下条件：

  • 在闭区间[a,b]上连续
  • 在开区间(a,b)内可导
  • f(a)=f(b)

则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。

拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足以下条件：

  • 在闭区间[a,b]上连续
  • 在开区间(a,b)内可导

那么，在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)成立。

构造辅助函数，做线性修正

g(x)=f(x)−(f(b)−f(a))(x−a)b−a g(x)=f(x)- \dfrac{(f(b)-f(a))(x-a)}{b-a}

对g(x)套用罗尔定理，存在C，使得g’(C)=0，则

f′(C)=f(b)−f(a)b−a f'(C)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

柯西中值定理

如果函数f(x)及g(x)满足:

  • 在闭区间[a,b]上连续；
  • 在开区间(a,b)内可导；
  • 对任一x∈(a,b)，g’(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ) \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

构造辅助函数，做线性修正，使得h(a)=f(a),h(b)=f(a)

h(x)=f(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)⋅[g(x)−g(a)] h(x)=f(x)- \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \cdot [g(x)-g(a)]

对h(x)套用罗尔定理，存在C，使得h’(C)=0，则

f′(C)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)⋅g′(x) f'(C)=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \cdot g'(x)

洛必达法则

用来判计算0/0、无穷/无穷、0的0次方、无穷-无穷等形式的极限。

  • 当x→a时，函数f(x)及g(x)都趋于零；
  • 在点a的去心邻域内，f’(x)及g’(x)都存在且g’(x)≠0；
  • 当x→a时，lim f’(x)/g’(x)存在(或为无穷大)，那么
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x) {\lim\limits_{x\to a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}={\lim\limits_{x\to a}}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}

补充f(a)=0,g(a)=0，利用柯西中值定理可证明。

泰勒展开式

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

f(x)=f(x0)0!+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) f(x)=\dfrac{f(x_0)}{0!}+ \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ ... + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)

写法如下：

f(x)=∑n=0+∞f(n)(x0)n!(x−x0)n f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

典型项：

f(n)(x0)n!(x−x0)n \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

余项，可以写成以下几种形式：

  • 佩亚诺（Peano）余项
  • 施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项
  • 拉格朗日（Lagrange）余项
  • 柯西（Cauchy）余项
  • 积分余项

佩亚诺余项表示：

Rn(x)=o[(x−x0)n] R_n(x)=o \left [ (x-x_0)^n \right ]

先证明

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)

即

limx→x0f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)x−x0=0 {\lim\limits_{x\to x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=0

可使用洛必达法则证明，更高阶的量同样可以使用多次洛必达法则证明。

ex=ex0+ex0(x−x0)+ex0(x−x0)22!+ex0(x−x0)33!+... e^x =e^{x_0}+e^{x_0}(x-x_0)+ \dfrac{e^{x_0}(x-x_0)^2}{2!}+\dfrac{e^{x_0}(x-x_0)^3}{3!}+...

常见函数在0处的泰勒展开，针对洛必达法则不太好求的极限，可通过泰勒展开来求极限：
1、e的x次方：

ex=1+x1!+x22!+x33!+o(x3) e^x =1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3)

2、ln(1+x)：

ln(1+x)=x−12x2+13x3+0(x3) \ln(1+x) =x - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + 0(x^3)

3、sinx：

sinx=11!x−13!x3+15!x5+o(x3) \sin{x} =\dfrac{1}{1!}x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5 +o(x^3)

4、cosx：

cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4) \cos{x} =1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4 +o(x^4)

5、1/(1-x)：

11−x=1+x2+x3+o(x3) \dfrac{1}{1-x} =1 + x^2 + x^3 + o(x^3)

6、(1+x)的a次方：

(1+x)a=1+a1!x+a(a−1)2!x2+a(a−1)(a−2)3!x3+o(x3) (1+x)^a =1 + \dfrac{a}{1!}x + \dfrac{a(a-1)}{2!}x^2 + \dfrac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + o(x^3)

欧拉公式

eiθ=cosθ+isinθ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta

可得出：

2i=(eln2)i=eiln2=cos(ln2)+isin(ln2) 2^i=(e^{\ln2})^i=e^{i\ln2}=cos(\ln2)+isin(\ln2)

把θ是任意实数，将θ=π带入公式得到：

eiπ=cosπ+isinπ=−1 e^{i\pi}=cos\pi+isin\pi=-1

即：

eiπ+1=0 e^{i\pi}+1=0

五、偏导数

∂f(a,b)∂a=limΔa→0f(a+Δa,b)−f(a,b)Δa \frac{\partial f(a,b)}{\partial a}={\lim\limits_{\Delta a\to 0}}\dfrac{f(a+ \Delta a,b)-f(a,b)}{\Delta a}

偏导的对称可交换性：

∂xyz=∂2z∂x∂y=∂∂y(∂z∂x)=∂∂x(∂z∂y) \partial_{xy}z =\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right ) =\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right )

梯度算符▽ \triangledown，二阶的梯度算符称为拉普拉斯算符（拉式算符）

六、积分

也称为黎曼积分、定积分，采用竖的方式切割面积。勒贝格积分是黎曼积分的加强版，采用横的方式切割面积。

S=∫abf(x)dx S=\int_a^b f(x)dx

微积分基本定理

也被称为牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）。

F(x)是原函数，f(x)是原函数的导数。

积分，本质上是求导数的原函数。

∫abf(x)dx=F(b)−F(a) \int_a^b f(x)dx =F(b)-F(a)

示例1：

∫03x2dx=(x33)∣03=9 \int_0^3 x^2dx =(\dfrac{x^3}{3}) \mid_0^3 =9

示例2：

∫x1+x4dx=12∫11+x4dx2=12∫11+y2dy=12arctanx2+C \int \dfrac{x}{1+x^4}dx =\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+x^4}dx^2 =\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+y^2}dy =\dfrac{1}{2}\arctan{x^2}+C

分部积分

f(x)g(x)∣ab=∫abf(x)g′(x)dx+∫abg(x)f′(x)dx f(x)g(x) \mid_a^b = \int_a^b f(x)g'(x)dx + \int_a^b g(x)f'(x)dx

示例3：

∫x2exdx=∫x2dex=x2ex−∫exdx2=x2ex−2∫xexdx \int x^2e^xdx = \int x^2de^x = x^2e^x-\int e^xdx^2 = x^2e^x-2\int xe^xdx =x2ex−2∫xdex=x2ex−2(xex−∫exdx)=x2ex−2xex+2ex+C = x^2e^x-2\int xde^x = x^2e^x-2(xe^x - \int e^xdx) = x^2e^x-2xe^x +2e^x+C

正态分布：

∫−∞+∞e−x2dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx

七、正态分布

正态分布

正态分布（Normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution），有回归特性，两边快速收敛。

∫−∞+∞e−x2dx⋅∫−∞+∞e−y2dy=∬−∞+∞e−(x2+y2)dxdy=∫02π∫0+∞e−(r2)rdrdθ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}dy = \iint_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-(r^2)}rdrd\theta =∫02πdθ∫0+∞e−(r2)rdr=2π∫0+∞e−(r2)rdr=π∫0+∞e−(r4)dr2=π = \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{+\infty} e^{-(r^2)}rdr = 2\pi \int_{0}^{+\infty} e^{-(r^2)}rdr = \pi \int_{0}^{+\infty} e^{-(r^4)}dr^2 = \pi

则

P(x)=1πe−x2,∫−∞+∞P(x)dx=1 P(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},\int_{-\infty}^{+\infty}P(x)dx=1

结合期望值μ \mu、方差σ2 \sigma^2、标准差σ \sigma，标准正态分布的格式为N(μ,σ2)=12πσe−(x−μ)22σ2 N(\mu,\sigma^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

当期望=0，方差=1时，称为标准正态分布N(0,1)=12πe−x22 N(0,1)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}

方差定义：

σ=σ2=∫(x−μ)2P(x)dx \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \int (x-\mu)^2 P(x)dx

大数定律和中心极限定律

任意概率分布做独立叠加，将还原成正态分布。如抛硬币正反。

误差函数

erf(x)=2π∫0xe−(t2)dt=2N(0,1)−1 erf(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-(t^2)}dt=2N(0,1)-1

八、高等数学总梳理

核心的包含：

  • 实数R
  • 极限
  • 导数
  • 中值定理
  • 洛必达法则
  • 泰勒展开
  • 积分

非核心的包含：

  • 矢量场论
  • 微分方程
  • 变分法
  • …

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    1、请确保node版本大于6.2
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